A Série Harmônica e as Séries de Fourier

Assim como a luz branca revela distintas cores “silenciosas” quando ultrapassa um prisma, um som também possui sons ocultos que percebemos à medida em que a proporção destes entes tácitos mostra-se mais significativa e que educamos nossos ouvidos para enxergá-los. Os harmônicos de uma nota musical são precisamente esses sons parciais que compõem sua sonoridade, e a Série Harmônica desta mesma nota caracteriza-se pela sequência de tais sons ordenada do grave ao agudo. Uma vez que o peso relativo de tais harmônicos no som resultante determina a qualidade sonora ou timbre da nota musical ouvida, pode-se compreender que a sonoridade de um instrumento ou de uma voz humana apresenta-se tanto mais brilhante quanto maior sua riqueza em harmônicos superiores. Por exemplo, o oboé e o clarinete são instrumentos com muitos harmônicos agudos, enquanto que a flauta doce e a transversa apresentam um som fundamental mais forte, com harmônicos superiores fracos e em pouca quantidade. Aquilo que nos faz atribuir adjetivos ao som produzido por determinados instrumentos associa-se diretamente a distribuição dos harmônicos daquele som. Por exemplo, o som 'oco' do clarinete é criado pela predominância de harmônicos ímpares. Com relação à produção e uso de harmônicos, os executantes de instrumentos de sopro podem obter o harmônico seguinte à fundamental (oitava) bem como o posterior a este (a quinta composta) soprando seus instrumentos com maior intensidade, assim como os instrumentistas de corda produzem harmônicos tocando uma corda levemente em pontos adequados, o que a faz vibrar em determinadas seções associadas ao harmônico que se deseja evidenciar.
Nesse ponto, pode-se entender o processo que levou à compreensão racional deste fenômeno à luz da matemática. A comprovação da característica periódica do som associada à contribuição indireta de Fourier (1768-1830) para a música colaboraram na solução do enigma proposto por Pitágoras à ciência há cerca de 2500 anos atrás:
Por que se caracterizam consonâncias: pela relação de pequenos números inteiros?
Juntamente aos aspectos supracitados e pensando agora no receptor, a descoberta de que o ouvido analisava sons complexos examinando suas componentes senoidais, de acordo com as leis de ressonância em diversas regiões de seu interior, forneceu elementos que possibilitaram uma solução para o problema da consonância na concepção pitagórica. Fourier exerceu forte influência na física com sua teoria analítica do calor (1822), através da qual o pensador francês mostrou que a condução de tal energia em corpos sólidos podia ser analisada em termos de séries matemáticas infinitas agora chamadas de Séries de Fourier. Iniciando seu trabalho em 1807, em Grenoble terminando-o em Paris em 1822 e buscando responder ao desafio de encontrar a temperatura, por exemplo numa placa plana condutora - a partir de sua configuração inicial, Fourier chegou à seguinte equação diferencial:

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Teorema de Fourier

onde u é a temperatura em qualquer tempo t e em qualquer ponto (x, y) do plano da placa e k, uma constante chamada constante de difusão do material.
Para a solução de tal problema em uma dimensão, Fourier introduziu séries de senos e cosenos exemplificados a seguir:

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Séries de Fourier

Além da aplicação à solução de equações diferenciais, utiliza-se a expansão por tais séries em distintas situações, podendo-se enunciar este princípio num âmbito mais amplo da seguinte maneira:
Qualquer forma periódica de vibração pode sempre ser obtida pela soma de vibrações simples com frequência multiplicada: por 1(fundamental). 2, 3, 4... vezes a do movimento dado.
Do ponto de vista acústico-musical, o princípio acima pode ser reenunciado como:
Qualquer movimento vibratório de ar na entrada do ouvido correspondente a um tom musical pode ser sempre e de maneira única exibido como uma soma de um número infinito de movimentos vibratórios simples, correspondendo aos sons parciais deste tom musical
Embora não explicados cientificamente, conhece-se o fenômeno de harmônicos desde a Antiguidade, assim como de outros fenômenos acústicos tais como a ressonância - cujo conceito evidencia-se, por exemplo, na caixa de ressonância das cítaras gregas ou nos conhecidos trechos do Antigo Testamento que discorrem sobre o muro de Jericó.
Explicando de maneira mais satisfatória diversas dúvidas acústico-musicais trabalhadas e interpretadas outrora à luz de fundamentações teóricas mais fracas, o Princípio de Fourier reuniu distintos conceitos matemático-musicais. Organizando uma estrutura capaz de enxergar diferentes fenômenos com lentes mais fortes. Dentre os fenômenos e dúvidas referidos, encontram-se os harmônicos de um som, o porquê da relação entre razão de pequenos números inteiros e consonâncias, etc. Sob essa nova ótica, as primeiras componentes - as mais audíveis - na Série Harmônica correspondente às frequências associadas aos primeiros termos da Série de Fourier que determinam, portanto razões de pequenos números inteiros relacionadas às consonâncias pitagóricas, respondendo ao problema lançado por aquela escola ha 2500 anos.
Graficamente, poder-se-ia representar o Teorema de Fourier no âmbito acústico-musical ao decompor a forma de onda correspondente ao saxofone emitindo um sol# da seguinte forma:

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Análise Espectral

Aproveitando o exemplo anterior, se esta forma de onda corresponde a um dó-1, têm-se como primeiros harmônicos o dó-2, sol-2, do-3, mi-3, sol-3, sib-3, do-4, ré-4, mi-4, (fá#-4), sol-4, (láb-4), (sib-4), si, dó-5 etc., tendo as notas entre parênteses afinação imprecisa. Os 16 primeiros harmônicos da nota dó são apresentados no pentagrama seguinte:

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Série Harmônica

Com isso, tanto uma corda como colunas de ar em instrumentos de sopro possuem a característica de vibrar não apenas como um todo, mas ainda simultaneamente como duas metades, três terços, quatro quartos etc. Do ponto de vista matemático, observa-se que a força de cada harmônico contribuirá para a construção da forma da vibração periódica que, por sua vez, relaciona-se com o timbre do som. Portanto, a distribuição de amplitudes dos harmônicos vai caracterizar a fonte sonora - instrumentos, vozes etc. Por exemplo, explica-se agora o brilho da sonoridade do oboé e do violino pela riqueza em harmônicos superiores do som destes instrumentos - coeficientes significativos nos termos elevados das Séries de Fourier das funções representativas destes sons. Já o timbre da flauta doce caracteriza-se pela predominância do som fundamental possuindo uma fonte de onda quase senoidal.
Nos instrumentos musicais, exploram-se e utilizam-se os harmônicos de diversas maneiras. Por exemplo, os instrumentistas de sopro obtêm harmônicos de um determinado som soprando-o com maior intensidade, enquanto que os executantes de instrumentos de corda podem fazer uma única corda vibrar em seções correspondentes a determinados harmônicos, tocando levemente em pontos de máximo que inibem harmônicos inferiores. Por exemplo, ao encostar o dedo de maneira leve num ponto situado a 1/3 do comprimento da corda em relação a extremidades do braço do violão, enfatiza-se o terceiro harmônico do som produzido pela corda solta, inibindo o primeiro e segundo harmônicos.
De posse agora da conscientização dos sons parciais de um tom da maneira apresentada acima, torna-se um exercício espontâneo construir intervalos a partir de harmônicos da mesma nota, obtendo-se na razão de frequências consecutivas do desenvolvimento de Fourier 2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, ou seja, sequências de razões do tipo f= (n+1)/n que correspondem, respectivamente, à oitava, quinta perfeita, quarta perfeita, terça maior, terça menor, etc. Além disso, podemos identificar o acorde perfeito maior no quarto, quinto e sexto harmônicos. O diminuto no quinto, sexto e sétimo e o acorde menor no sexto, sétimo e nono harmônicos.
O fenômeno da decomposição de uma nota em série de Fourier mostra-se responsável ainda pelo desvendar de vários mistérios da harmonia musical observados, estabelecidos e sistematizados em muitos casos, a partir da prática, como regras desprovidas de justificativas convincentes. Por exemplo, com base nas regras de Harmonia Tradicional para polifonia a quatro vozes, aconselham-se distâncias menores que a oitava entre quaisquer duas vozes consecutivas, a menos do tenor e baixo, que podem diferir por intervalos superiores. À luz do Teorema de Fourier, tal imposição mostra-se facilmente defensável pelo simples fato de que, harmonizando-se vozes desta forma, faz-se uma repetição aproximada das distâncias entre as componentes da decomposição de uma nota em senóides, onde se verifica que os harmônicos tornam-se mais próximos à medida que percorremos os termos da série, (ABDOUNUR, 2003).

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