Análise e síntese espectral

Vimos que a relação entre formas de ondas complexas e senóides foi descoberta pelo matemático francês do século XVIII, Joseph Fourier. A decomposição de sons complexos em simples é uma ferramenta muito útil para o estudo da acústica. Essa decomposição se chama análise de Fourier, que transforma a representação temporal na representação espectral. Como primeiro exemplo, a senóide quando analisada revela apenas uma componente no espectro, equivalente a sua própria frequência de oscilação.

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Domínio Temporal e Espectral, fonte: LAZZARINI, 1998

Vibrações mais complexas, como a da onda quadrada, apresentam uma série de componentes senoidais. Neste caso, o domínio espectral mostrará um número de barras verticais equivalentes às componentes senoidais de diferentes frequências que, somadas linearmente (ponto a ponto, ou seja, sobrepostas) formam uma onda complexa. A onda quadrada, dos exemplos, é uma forma de onda resultante da soma de componentes senoidais que possuem frequências que são múltiplos inteiros ímpares da fundamental, conforme mostra o gráfico (5 componentes na figura acima). Além disso, cada componente senoidal possui uma amplitude relativa. A componente que possui 1X a frequência fundamental é a mais intensa, enquanto as outras vão decrescendo aos poucos. A segunda componente, que possui 3X a frequência fundamental, tem 1/3 da amplitude da primeira componente.

Quando as frequências das componentes de um som são relacionadas de uma forma simples, como múltiplos inteiros da frequências fundamental, as componentes são chamadas de parciais harmônicos, ou somente harmônicos. Neste caso, o som terá uma frequência fundamental audível, e consequentemente altura definida. Um som complexo cujas componentes mais significantes são N harmônicos poderia ser descrito pela seguinte função:

f (t) = A0seno(? t + f 0) + A1seno(2? t + f 1) + A2seno(3? t + f 3) + ... + An-1seno(N? t + f n-1)

Ou seja, uma soma de N senóides cujas frequências são relacionadas por uma série de números inteiros (1, 2, 3, ... , N). Quando fazemos essa soma de senóides estamos fazendo o processo inverso da análise de Fourier, a síntese a partir das componentes harmônicas do som.

Agora podemos construir uma teoria provisória do timbre: o timbre de um som é relacionado com as suas componentes senoidais. Estas componentes têm frequências diferentes que podem ser relacionadas de forma simples, como múltiplos inteiros de uma frequência fundamental, quando são chamadas de harmônicos. Quando as componentes senoidais não se resolvem como múltiplos de uma fundamental, temos sons mais complexos, que não possuem uma altura definida, e neste caso, os componentes são chamados de parciais inarmônicos. O espectro de um som, que determina seu timbre, é a representação das frequências destas ondas e suas amplitudes relativas.

 

Uma das consequências das descobertas que fizemos é a relação de números inteiros entre as frequências de componentes senoidais de alguns sons de certos instrumentos musicais.

De acordo com a nossa teoria provisória do timbre, a presença ou não de certos componentes é a razão pela qual percebemos diferentes timbres ou cores. Nós chamamos essas componentes de harmônicos e o seu conjunto de série harmônica, como já visto anteriormente:

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Série Harmônica, fonte: LAZZARINI, 1998

A série harmônica mostrada acima em notação musical tradicional é uma aproximação dos valores de frequência para os dessa nossa notação, o que quer dizer que não vão corresponder exatamente às frequências para essas notas em certos instrumentos temperados (como o piano por exemplo).

Compreendemos isto quando falarmos de afinação e temperamento. A presença da série harmônica é evidente nos instrumentos de metal, onde ela é usada como meio de emitir as doze notas da nossa música ocidental.

O que se vê quando analisamos a série é que há um espaçamento grande entre os primeiros harmônicos que vai se fechando à medida em que vamos subindo pela série, devido à natureza logarítmica do fenômeno das frequências quando representado de modo linear, como é o caso da nossa notação tradicional de alturas. Lembremos que dizemos que a percepção se dá logaritmicamente quando é baseada na razão entre dois valores, como neste caso das frequências onde as relações entre notas (intervalares) são percebidas como razões entre frequências. Basta lembrar que para se pular de oitava temos que sempre multiplicar por dois a frequência original, e se olharmos na série acima, as notas em oitavas ascendentes estão sempre relacionadas pela razão 2:1 (utilizando-se os números de ordem dos harmônicos, dados acima das notas na acima). Isso vale também para os outros intervalos, onde a sua forma pura vai ser dada pelas razões encontradas na série. Por exemplo: a quinta pura ascendente tem uma razão 3:2, retirada da nossa representação musical da série harmônica acima, de dó (2, pois é o 2o harmônico) a sol (3o harmônico), o que quer dizer que se sabemos que a nota lá tem uma frequência fundamental de 220Hz, para sabermos a frequência da nota mi, quinta acima, multiplicamos aquele valor por 3/2,

220 x 3/2 = 660/2 = 330 Hz,

logo a frequência de um mi puro calculado a partir de um lá 220Hz, possui a frequência de 330 Hz. E assim por diante podemos utilizar as outras razões da série harmônica correspondente aos devidos intervalos para calcular suas relações puras de frequência. Note-se que quando chegamos a harmônicos mais altos, alguns intervalos vão possuir diferentes razões (que refletem em diferentes tamanhos), e esse problema é uma das razões por que existem diversos tipos de temperamento (ajuste das frequências para obtenção de uma "quase consonância").

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