Harmônicos Músicais e Timbre

Galileu Galilei (1564-1642) escreveu em 1638 que nem o comprimento, nem a tensão e nem a densidade linear de cordas apresentava-se como razão direta e imediata subjacente a intervalos músicais, mas razões de números de vibrações e impactos de ondas sonoras que atingiam o tímpano.

Considerando o som que alcançava o ouvido invés do objeto vibrante que o produzia, Galileu verificou que a altura musical relacionava-se diretamente à frequência registrando rastros de arranhões desenhados numa placa metálica provenientes de uma haste vibrante solidária a uma membrana que recebia vibrações sonoras.

A percepção por parte de Galileu que no século XVII de que a sensação de altura musical relaciona-se diretamente ao conceito de frequência marca o inicio da física da música em sua concepção atual. Tal idéia motivou esforço para o entendimento dos harmônicos músicais, já que naquela época parecia paradoxal que um simples objeto pudesse vibrar simultaneamente em frequências diferentes. A explicação quantitativa de timbre e de harmônicos associados ao timbre ocorreu nesse período.

O pensador italiano afirmou ainda que a frequência produzida por uma corda tensionada era inversamente proporcional a raiz quadrada da densidade linear de tal corda, fato corroborado e generalizado por Marin Mersenne (1588-1648) ao determinar, por meio de experimentos envolvendo cordas densas e de mais de 30 metros, outros parâmetros dos quais a frequência de vibração de uma corda ainda dependiam.

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Equação 5.1 - Mersenne

onde f é a frequência, L é o comprimento a corda, K uma constante proporcional, n um numero inteiro, T a tensão a que a corda encontra-se sujeita e a densidade linear da corda.

Ainda nesta época, Mersenne estabeleceu o seguinte paradoxo, desafiando seus contemporâneos e correspondentes cientistas a responder a seguinte questão: Como poderia uma corda produzir mais de uma altura ao mesmo tempo?

A essa altura a correspondência biunívoca entre sons harmônicos e modos de vibração de uma corda não havia sido completamente compreendida. A luz da idéia de altura como frequência, tornava-se mais claro conjecturar harmônicos do som como superposição de configurações de onda de diferentes frequências do que como uma composição de vários modos de vibração de uma corda, o que ressoava fortemente com a idéia subjacente ao paradoxo de Mersenne. Tal idéia ganharia uma estrutura bem definida em 1677, quando John Wallis induziu a vibração de uma corda por simpatia com harmônicos de sua frequência fundamental. Afirmando que tal fenômeno já era conhecido pelos músicos de Oxford há alguns anos, o matemático inglês confirmou a associação entre harmônicos do som e as diferentes configurações de nós determinantes dos modos de vibração da corda.

Fontanelle (1657-1757) afirmou que cada metade, cada terço e cada quarto de uma corda de um instrumento realizava suas vibrações parciais ao mesmo tempo que a corda inteira vibrava.

A relação ciência / música encontra ainda ressonância na genialidade de Joseph Saveur (1653-1716) que, apesar de ter tido uma deficiência na audição e fala, descobriu pela primeira vez um meio de calcular o numero absoluto de vibrações de um som.

Considerado muitas vezes o pai da acústica, o matemático francês apresenta-se como primeiro a calcular a frequência dos batimentos produzida por duas notas, resolvendo ainda o paradoxo estabelecido por Mersenne ao explicar racionalmente o Fenômeno dos sons harmônicos fundamentando-se no Princípio da Superposição.

Presente silenciosamente em seus estudos de batimentos, harmônicos e timbre, tal principio mostra-se como uma das ideias mais importantes de Saveur para os desenvolvimentos futuros. Assim como Wallis e Robartes, porém independentemente deles, Saveur explicou que a vibração de uma corda em modos mais altos resultava no aparecimento de nós e ventres, introduzindo os termos “son harmonique”, “noeud” e “ventre”. A explicação racional de Saveur para o fenômeno dos sons harmônicos, bem como outras contribuições acústico-músicais do matemático francês o fazem muitas vezes considerado o fundador da acústica.

O matemático francês percebeu que os construtores de órgão haviam descoberto intuitivamente os harmônicos, misturando-os por meio de registros com o intuito de obter distintos timbres. No dizer de Saveur, a natureza teve a força de fazer com que os musicistas caíssem inconscientemente no sistema de sons harmônicos norteados apenas por seus ouvidos e experiências. Os organistas misturavam os botões do órgão quase que da mesma maneira com que pintores misturavam cores, imitando a harmonia da natureza observada nos objetos sonoros.

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Registros de Timbre de um órgão de Tubos, fonte: Wikipédia

Outros pensadores, tais como Newton, contribuíram para o desenvolvimento da relação matemática /música neste período. Nesse caso, o físico inglês teceu comentários a respeito de sons músicais em alguns de seus primeiros artigos sobre ótica, analisando ainda matematicamente a propagação do som em seu Principia. Nessa altura, calcular a Fundamental e os harmônicos de um determinado corpo sonoro apresentavam-se como o problema acústico central do século XVIII. Em 1713, Taylor tentou descrever o movimento do monocórdio baseado na mecânica racional de Newton. Nesse mesmo período, acreditava-se que os harmônicos de todos os corpos acústicos possuíam certo equilíbrio natural e alguns autores afirmavam que Jean-Philippe Rameau (1633-1764) havia fundamentado seu sistema harmônico em cima de tal idéia.

Compositor e teórico Frances, Rameau publicou seu Tratado de Harmonia em 1722, pedra angular do estudo de harmonia musical que apresenta uma nova teoria abordando, por exemplo, a relação entre o baixo e a harmonia baseado em sua concepção das propriedades Físicas do som.

Entre os contribuintes para a relação matemática /música no século XVIII, encontram-se Leonhard Euler (1707-1783), Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e Daniel Bernoulli (1700-1782).

A conexão mais precisa entre altura de som musical e frequência - velocidade de um movimento vibratório - ocorreria no século XVIII com D'Alembert. Estudando o comportamento de cordas vibrantes, o matemático e filósofo francês descobriu que o comprimento de uma corda sujeita a uma tensão fixa era inversamente proporcional à frequência do som emitido pela corda referida.

D'Alembert foi ainda mais longe ao afirmar que um som natural não era puro, mas complexo, sendo obtido pela superposição de diversos harmônicos de uma série. Do ponto de vista quantitativo, um harmônico caracteriza-se pela sua amplitude, que assume grande importância na síntese sonora. A descoberta de D’Alembert não se aplica somente à análise de sons, mas a todos os tipos de movimentos vibratórios.

Daniel Bernoulli (1700-1782) afirmou que a vibração de um corpo sonoro poderia ser observada como superposição de seus modos simples com distintas amplitudes, porém não havia princípios gerais sobre os quais a prova de tal afirmação poderia ser experimentada. Considerando a insuficiência de ferramentas matemáticas desenvolvidas no século XVIII para confirmar a validade do principio enunciado por Bernoulli concernente a superposição de oscilações simples, tal principio somente assumiria uma justificativa consistente no século XIX, quando os matemáticos apresentar-se-iam aptos a explicar a idéia de Bernoulli para uma diversidade de corpos vibrantes, o que formará parte indispensável da acústica de hoje.

A afirmação de Bernoulli ancorou-se teoricamente nos experimentos de Fourier em áreas aparentemente distantes do universo musical. Realizando experimentos em condução de calor nas primeiras décadas do século XIX, Fourier mostrou como representar qualquer curva periódica pela superposição de ondas senoidais correspondentes às frequências 1, 2, 3, 4, vezes a frequência da curva original.

Aprofundada e sistematizada por Fourier, a análise harmônica apresentada por D'Alembert e conjecturada por Kepler encontrou aplicação em distintos campos científicos, tecnológicos e econômicos, tais como ondas luminosas, evolução climática, oscilações elétricas, fenômenos geofísicos como amplitude das marés e ondas sísmicas, configurações de uma bandeira, flutuações na Bolsa de Valores, etc.

O Teorema de Fourier, bem como suas generalizações e analogias, não apenas concretizou o ponto de vista de Daniel Bernoulli em acústica, como se transformou no fundamento para análises de harmônicos, consonância / dissonância, batimentos dissonantes, assim como distintos conceitos músicais aparentemente dissociados da matemática. Ainda relacionado à construção de tal conceito, o físico alemão Georg Ohm (1819 - 1880) afirmou, em 1843, que os sons músicais dependiam apenas da distribuição de energia de seus harmônicos, não possuindo nenhuma relação com as diferenças de fase. Tornando-se conhecida como Lei de Ohm da Acústica, a conjectura anterior preludiou as contribuições do cientista alemão Hermann von Helmholtz (1821-1894), que analisou o significado dos sons parciais, trabalhando ainda com fases, padrões de ondas sonoras, bem como consonância e dissonância, além de sistemas de temperamento.

Nesse ponto, cabe ressaltar que para analisar a frequência fundamental de um tom, fazia-se necessário uma determinação precisa, sem a qual a análise de frequência das distintas componentes tornar-se-ia impossível. Após o experimento construído por Galileu já mencionado, outros dispositivos mais aprimorados surgiram no decorrer da história.

Em 1849, o físico experimental Guillaume Vertheim registrou com relativa precisão a vibração de uma onda sonora considerando a produção de um traço por uma pequena agulha, presa a uma haste vibrante num prato de vidro em movimento coberto com carbono. Os métodos mecânicos referidos com suas limitações de frequência aprimoraram-se na segunda metade do século XIX.

Dentre os dispositivos de mesma natureza anteriores ao tubo e vácuo, cabe mencionar o Phonodeik inventado por Dayton C. Miller em 1908 que, embora ainda apresentasse limitações em frequência, serviu à literatura e a experimentos em acústica até a metade do século XX, quando os tubos de raios catódicos e dispositivos decorrentes tomaram seus predecessores primitivos. Produzido quando objetos, tais como cordas, chapas, membranas, colunas de ar e tubos são colocados a vibrar, o som associa-se a movimento que se repete em intervalos de tempo, cuja natureza verifica-se de diversas formas. O Phonodeik (vide figura seguinte), dispositivo mecânico que registra fotograficamente formas sonoras, inventado pelo físico Dayton C. Miller (1866-1941) em 1908, possui relevante importância na comprovação da natureza periódica do som.

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Phonodeik, fonte: Wikipédia

No mecanismo anteriormente apresentado, há uma membrana de espessura 0,01 cm conectada a uma mola com um carretel, solidária a um espelho que se move na vertical em tempos iguais à membrana. Incidindo-se um feixe de luz sobre esse espelho, o reflexo impressionará distintas posições de uma película sensível conforme seu movimento. Com todos os componentes ligados, emite-se som na membrana agora vibrante, e esta transfere seu movimento para a mola que, por sua vez, o transfere ao espelho. Este dirige o raio luminoso, proporcionado pela emissão sobre a membrana, construindo sobre o filme um “retrato” do som original, revelador de sua natureza vibratória, como ilustra a função apresentada a seguir.

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Função gerada pelo Phonodeik, fonte: ABDNOUR, 2003

A partir do desenho anterior, pode-se interpretar suas propriedades matemáticas do ponto de vista musical. Por exemplo, a variação da altura emitida modifica a frequência da função (quanto mais agudo, maior a frequência), a mudança na intensidade do som altera a amplitude do sinal (quanto mais intenso, maior a amplitude), a variação do timbre do som modifica a forma da função (quanto mais harmônicos superiores possuir o som emitido, mais a forma distancia-se da senóide) e a duração do som é a duração da forma de onda. Neste sentido, altura - grave/agudo - relaciona-se com a frequência, intensidade - forte/ fraco - relaciona-se com a amplitude, timbre relaciona-se com a forma e a duração do som com a duração da função.

Atualmente, é possível verificar a natureza sonora por meio de recursos mais elaborados e precisos, como por exemplo através de um osciloscópio, instrumento eletrônico que, quando associado a um microfone, converte ondas sonoras em impulsos elétricos, apresentando-os numa tela de televisão, segundo a figura seguinte, onde ilustramos ainda, exemplos de formas de onda do saxofone e da clarineta, emitindo respectivamente notas sol # e dó, (ABDOUNUR, 2003).

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Formas de onde de um Saxofone e de uma clarineta, fonte: ABDNOUR, 2003

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